谈弹塑性力学的物性方程:理论与实验终于协调了
弹性力学最初的应力-应变关系方程就是胡克定律。但是,塑性力学的物性方程则非为两部分:一是卸载(和再加载)曲线上的线性弹性;二是初次加载曲线上的非线性弹性(增量弹性,全局非线性)。
在大学学弹性理论的时候,问得多了,老师对这个关系式的回答是:实验发现,基本定理。等到了参加工作后,整天就是研究介质的物性方程,此时才发现,系统性的论述物性方程随变形(或外力)而演化的理论著作奇缺。
无论是格林的书,还是Truesdell 等的理论,都是引入一般意义上的变形能函数,从而对应变求偏导数而得到物性参数。理论上很严格。但是,在实际工程上不好用,因为我们对变形能函数的具体形式一无所知。从而,只能停留在实验定义上。
在1960S,Bernstein、Biot等学者指出,就物性方程而言,流体的物质概念、固体的物质概念,增量变形的物质概念、全量变形的物质概念存在不协调性。从而,本应是在物质意义上具有客观统一性的物性方程(指抽象方程),在连续介质力学框架内实际上是分立的。
理论学家认为这是一个重大的理论问题,而工程力学家则认为这根本就不是问题,固体和液体的物性方程就应该是不一样的,理论学家属于没事找事。
但是,1960S以后的力学进程证明,物性方程的确是连续介质力学理论的薄弱环节。20世纪后期的研究基本上揭示出,应力的变化(或是等价的应变的变化)导致弹性参数的显著变化,从而开劈了非线性弹塑性力学。
争论也随之而来,这种变化是几何效应?还是真实的物性变化?这样,就出现了几条路线:
这是几何效应,是应变的定义引起的,从而引入非线性应变(位移场偏导数的积)项。不过,虽然理论形式上严密,但所得到的运动方程几乎无法给出线性解,而是给出大量的失稳解(如混沌解),实验上这类非线性是确定性的。从而,这条路线在持续30年后进入尾声。这是失败的路线。 是真实的物性变化。这个概念在实验意义和工程意义上好接受,但是,我们不知道引起物性变化的自变量,从实验事实上我们知道这个自变量与应变(应力)有关,但没有理论上的确切定义,从而是一个“待定的隐变量”。这条路线也走向了失败。 最后,从工程上来讲,就剩下一条路了:实验测定,建立经验关系。这下就热闹了,各式各样的经验关系被发掘出来,各式各样的数理统计结果(基于统计物理学的办法)被建立起来,随后,相应的各类运动方程的数值求解(基于不同的物性方程)结果多得不得了。形势一片大好,不是小好,而是大好。
以任意位形为参考,建立相对于任意位形的增量变形理论(Biot 的矩阵理论;陈至达的基矢变形理论),在应变上想办法,把与弹性波动(增量变形)无关的量撇去,从而得到形式上的线性理论(本质上的非线性理论)。 引入各向异性弹性参数(Crampin用弹性参数吸收微观变形量(初始应力),从而得到线性波动方程(但是方程项数大增))。数学上,等价于用线性方程组来代替高阶的非线性方程(拟线性化)。